Las ecuaciones cuadráticas son una parte fundamental de las matemáticas y se encuentran en muchas aplicaciones de la vida real. Desde la física hasta la economía, comprender cómo resolver ecuaciones cuadráticas puede abrir un mundo de posibilidades. Hoy, vamos a enfocarnos en una ecuación cuadrática específica: 3(x+2)(x+3)=60. En este artículo, desglosaremos cada paso del proceso de resolución, desde la expansión de la ecuación hasta la obtención de las soluciones finales. Si alguna vez te has sentido perdido al enfrentarte a ecuaciones como esta, no te preocupes. Aquí encontrarás una guía clara y accesible que te ayudará a dominar el tema. ¡Empecemos!
¿Qué es una ecuación cuadrática?
Antes de sumergirnos en la resolución de 3(x+2)(x+3)=60, es importante entender qué es una ecuación cuadrática. Una ecuación cuadrática es una expresión matemática de la forma:
- ax² + bx + c = 0
Donde a, b y c son coeficientes, y a no puede ser cero. Este tipo de ecuación representa una parábola en un gráfico, y sus soluciones son los puntos donde la parábola intersecta el eje x.
Características de las ecuaciones cuadráticas
Las ecuaciones cuadráticas tienen varias características clave:
- Grado 2: La mayor potencia de la variable es 2.
- Dos soluciones: Generalmente, las ecuaciones cuadráticas tienen dos soluciones, que pueden ser reales o complejas.
- Fórmula general: Se pueden resolver utilizando la fórmula cuadrática: x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a.
Entender estas características nos ayudará a resolver 3(x+2)(x+3)=60 de manera más efectiva. Ahora, exploremos cómo simplificar esta ecuación y encontrar sus soluciones.
Desglosando la ecuación: 3(x+2)(x+3)=60
Para resolver la ecuación 3(x+2)(x+3)=60, comenzaremos por expandir el lado izquierdo. Primero, multiplicamos los binomios:
La expansión de (x+2)(x+3) se realiza de la siguiente manera:
- x² + 3x + 2x + 6
- x² + 5x + 6
Ahora, multiplicamos esta expansión por 3:
3(x² + 5x + 6) = 3x² + 15x + 18
Así que ahora nuestra ecuación se ve así:
3x² + 15x + 18 = 60
Reorganizando la ecuación
El siguiente paso es reorganizar la ecuación para que esté en la forma estándar de una ecuación cuadrática. Restamos 60 de ambos lados:
3x² + 15x + 18 – 60 = 0
Esto simplifica a:
3x² + 15x – 42 = 0
Ahora tenemos una ecuación cuadrática en su forma estándar, lista para ser resuelta.
Resolviendo la ecuación cuadrática
Ahora que tenemos 3x² + 15x – 42 = 0, podemos resolverla utilizando la fórmula cuadrática. Recuerda que esta fórmula es:
x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
En nuestra ecuación, los coeficientes son:
- a = 3
- b = 15
- c = -42
Calculando el discriminante
El primer paso es calcular el discriminante, que es la parte dentro de la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática:
b² – 4ac = 15² – 4(3)(-42)
Realizando los cálculos:
225 + 504 = 729
El discriminante es 729, que es un número positivo. Esto significa que tendremos dos soluciones reales para nuestra ecuación.
Aplicando la fórmula cuadrática
Ahora sustituimos los valores en la fórmula cuadrática:
x = (-15 ± √729) / (2 * 3)
Calculamos la raíz cuadrada de 729, que es 27:
x = (-15 ± 27) / 6
Esto nos da dos soluciones:
- x₁ = (12) / 6 = 2
- x₂ = (-42) / 6 = -7
Verificando las soluciones
Siempre es buena práctica verificar las soluciones encontradas. Sustituyamos x = 2 y x = -7 en la ecuación original 3(x+2)(x+3)=60 para confirmar que ambas son correctas.
Verificación para x = 2
Sustituyendo en la ecuación original:
3(2+2)(2+3) = 3(4)(5) = 60
Esto es correcto. Ahora, verifiquemos x = -7.
Verificación para x = -7
Sustituyendo también:
3(-7+2)(-7+3) = 3(-5)(-4) = 60
Esto también es correcto. Por lo tanto, nuestras soluciones son válidas.
Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas
Resolver la ecuación cuadrática 3(x+2)(x+3)=60 no solo es un ejercicio académico, sino que también tiene aplicaciones en diversas áreas. Aquí exploramos algunas de ellas:
En la física
Las ecuaciones cuadráticas se utilizan para describir el movimiento de los objetos bajo la influencia de la gravedad. Por ejemplo, al calcular la altura de un proyectil en función del tiempo, se puede obtener una ecuación cuadrática que describe su trayectoria.
En la economía
En el ámbito económico, las ecuaciones cuadráticas pueden modelar situaciones como la maximización de beneficios. Por ejemplo, si una empresa desea maximizar sus ganancias, puede establecer una función cuadrática que represente sus ingresos y costos.
En la biología
Las ecuaciones cuadráticas también se aplican en modelos de crecimiento poblacional. Al analizar cómo las poblaciones crecen en función de varios factores, se pueden utilizar ecuaciones cuadráticas para predecir el tamaño futuro de la población.
¿Qué son las ecuaciones cuadráticas?
Las ecuaciones cuadráticas son expresiones matemáticas que pueden escribirse en la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son coeficientes. Estas ecuaciones representan parábolas y pueden tener dos soluciones reales, una solución real o dos soluciones complejas.
¿Cómo puedo resolver una ecuación cuadrática?
Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluyendo la factorización, la completación del cuadrado y la fórmula cuadrática. La elección del método depende de la forma de la ecuación y de tus preferencias personales.
¿Qué significa el discriminante en la fórmula cuadrática?
El discriminante, que se calcula como b² – 4ac, determina la naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática. Si es positivo, hay dos soluciones reales; si es cero, hay una solución real; y si es negativo, las soluciones son complejas.
¿Cuándo se utilizan las ecuaciones cuadráticas en la vida real?
Las ecuaciones cuadráticas se utilizan en una variedad de campos, como la física para describir el movimiento de objetos, la economía para maximizar beneficios y en biología para modelar el crecimiento poblacional. Su versatilidad las hace esenciales en múltiples disciplinas.
¿Puedo resolver ecuaciones cuadráticas sin calculadora?
Sí, puedes resolver ecuaciones cuadráticas a mano utilizando métodos como la factorización o la fórmula cuadrática. Sin embargo, una calculadora puede facilitar los cálculos, especialmente cuando se trabaja con números grandes o fracciones.
¿Qué sucede si no puedo factorizar una ecuación cuadrática?
Si no puedes factorizar una ecuación cuadrática, puedes utilizar la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones. Este método es siempre aplicable, independientemente de si la ecuación es factorizable o no.
¿Las ecuaciones cuadráticas tienen siempre dos soluciones?
No siempre. Las ecuaciones cuadráticas pueden tener dos soluciones reales, una solución real (cuando el discriminante es cero) o dos soluciones complejas (cuando el discriminante es negativo).