Las ecuaciones cuadráticas son fundamentales en matemáticas y se presentan en una variedad de contextos, desde problemas de física hasta aplicaciones en economía. Una de las ecuaciones cuadráticas que podemos explorar es (4-5x)(4x-5)=(10x-3)(7-2x). Resolver ecuaciones de este tipo no solo es un ejercicio académico, sino que también fortalece nuestras habilidades de pensamiento lógico y resolución de problemas. En este artículo, te guiaré paso a paso a través del proceso de resolución de esta ecuación cuadrática, desglosando cada parte para que puedas comprenderla fácilmente. A lo largo de este texto, también abordaremos conceptos clave relacionados con las ecuaciones cuadráticas, métodos de factorización y la importancia de entender estos conceptos en la vida cotidiana.
Entendiendo la ecuación cuadrática
Para abordar la ecuación (4-5x)(4x-5)=(10x-3)(7-2x), es crucial entender qué es una ecuación cuadrática. En términos generales, una ecuación cuadrática es cualquier ecuación que se puede expresar en la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a no es igual a cero. La ecuación que estamos analizando es un poco más compleja, ya que involucra productos de binomios.
Definición de ecuación cuadrática
Las ecuaciones cuadráticas pueden representarse gráficamente como parábolas. Dependiendo de los coeficientes, la parábola puede abrirse hacia arriba o hacia abajo. La solución de una ecuación cuadrática puede encontrarse utilizando diferentes métodos, como la factorización, la fórmula cuadrática o completando el cuadrado. Cada método tiene sus ventajas y se puede utilizar en diferentes situaciones.
Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas
Las ecuaciones cuadráticas no solo son una parte importante del currículo escolar, sino que también tienen aplicaciones prácticas en diversas disciplinas. En física, se utilizan para calcular trayectorias de proyectiles. En economía, ayudan a modelar situaciones de maximización de beneficios o minimización de costos. Por lo tanto, entender cómo resolver estas ecuaciones es una habilidad valiosa.
Expansión de ambos lados de la ecuación
Para resolver la ecuación cuadrática (4-5x)(4x-5)=(10x-3)(7-2x), el primer paso es expandir ambos lados. Esto implica aplicar la propiedad distributiva, que nos permitirá obtener una forma más sencilla de la ecuación.
Expandiendo el lado izquierdo
Comencemos con el lado izquierdo de la ecuación:
- (4-5x)(4x-5)
Utilizando la propiedad distributiva, tenemos:
4(4x) + 4(-5) + (-5x)(4x) + (-5x)(-5)
Esto se traduce en:
16x – 20 – 20x + 25x²
Ahora, combinamos términos similares:
25x² – 4x – 20
Expandiendo el lado derecho
Ahora expandamos el lado derecho:
- (10x-3)(7-2x)
Aplicando la propiedad distributiva nuevamente:
10x(7) + 10x(-2x) + (-3)(7) + (-3)(-2x)
Esto se traduce en:
70x – 20x² – 21 + 6x
Al combinar términos similares, obtenemos:
-20x² + 76x – 21
Igualando las ecuaciones
Ahora que hemos expandido ambos lados, podemos igualarlos:
25x² – 4x – 20 = -20x² + 76x – 21
Para simplificar la ecuación, llevaremos todos los términos a un solo lado. Sumamos 20x² y restamos 76x y 21 de ambos lados:
25x² + 20x² – 4x – 76x – 20 + 21 = 0
Esto se simplifica a:
45x² – 80x + 1 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática
Ahora que tenemos la ecuación cuadrática en la forma estándar, podemos utilizar la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones. La fórmula cuadrática es:
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
En nuestra ecuación, a = 45, b = -80 y c = 1. Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos:
x = (80 ± √((-80)² – 4(45)(1))) / (2 * 45)
Calculando el discriminante
El primer paso es calcular el discriminante, que es la parte que se encuentra dentro de la raíz cuadrada:
(-80)² – 4(45)(1) = 6400 – 180 = 6220
Ahora, sustituimos el discriminante en la fórmula:
x = (80 ± √6220) / 90
Encontrando las soluciones
Calculamos las dos posibles soluciones:
x₁ = (80 + √6220) / 90
x₂ = (80 – √6220) / 90
Estas soluciones representan los puntos donde la parábola cruza el eje x, y son las respuestas a la ecuación cuadrática original. Ahora podemos simplificar estas soluciones para obtener valores numéricos específicos.
Interpretación de las soluciones
Las soluciones que obtuvimos representan los valores de x que satisfacen la ecuación cuadrática original. En este caso, dado que el discriminante es positivo, sabemos que hay dos soluciones reales y distintas. Esto implica que la parábola asociada a nuestra ecuación cuadrática cruza el eje x en dos puntos diferentes.
Aplicaciones de las soluciones
Entender las soluciones de una ecuación cuadrática es esencial en diversas aplicaciones. Por ejemplo, si estamos modelando la trayectoria de un objeto lanzado al aire, las soluciones nos dirán en qué momentos el objeto alcanza el suelo. En economía, podríamos estar buscando el punto de equilibrio entre oferta y demanda, donde las soluciones nos indican las cantidades exactas.
Verificación de las soluciones
Es importante verificar que nuestras soluciones son correctas. Esto se puede hacer sustituyendo los valores de x de nuevo en la ecuación original y comprobando si ambos lados son iguales. Si lo son, hemos resuelto la ecuación correctamente.
¿Qué es una ecuación cuadrática?
Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de segundo grado que puede expresarse en la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes, y a no es igual a cero. Estas ecuaciones son fundamentales en matemáticas y tienen múltiples aplicaciones en la vida real.
¿Cuáles son los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas?
Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluyendo la factorización, la fórmula cuadrática y el método de completar el cuadrado. La elección del método depende de la forma de la ecuación y de la preferencia del resolutor.
¿Cómo puedo verificar mis soluciones?
Para verificar tus soluciones, simplemente sustituye los valores de x encontrados de nuevo en la ecuación original. Si ambos lados de la ecuación son iguales, entonces las soluciones son correctas.
¿Qué significa un discriminante positivo?
Un discriminante positivo en una ecuación cuadrática indica que hay dos soluciones reales y distintas. Esto significa que la parábola asociada a la ecuación cruza el eje x en dos puntos diferentes.
¿Qué pasa si el discriminante es cero?
Si el discriminante es cero, hay una única solución real, lo que significa que la parábola toca el eje x en un solo punto, conocido como raíz doble. Esto ocurre cuando ambas soluciones son iguales.
¿Dónde se aplican las ecuaciones cuadráticas en la vida real?
Las ecuaciones cuadráticas tienen diversas aplicaciones prácticas, como en la física para calcular trayectorias de proyectiles, en economía para modelar situaciones de maximización de beneficios y en ingeniería para diseñar estructuras. Comprenderlas es crucial en muchos campos.
¿Puedo resolver ecuaciones cuadráticas sin usar la fórmula cuadrática?
Sí, puedes resolver ecuaciones cuadráticas utilizando otros métodos, como la factorización o el método de completar el cuadrado. La elección del método dependerá de la forma de la ecuación y tu comodidad con cada técnica.